四种期权定价方法

在世界大多数证券市场上，有一种期权(option)的交易。例如，某种股票的现价为S=42美元，该股票的年波动率s=20%，市场的无风险年利率r=10%；若客户希望拥有在六个月即0.5年后以约定价格X=40（美元）购进这种股票的权利，而且届时他也可以放弃这种权利。

试问：为拥有这种购买的选择权，客户该付多少钱? 换言之，这种期权的价格为多少？

简单分析：股票的现价为S（42美元），由于股票价格的波动率，到期时价格可能上扬为Su，也可能下跌为Sd. 为简单计，暂且假定涨跌幅均为10％，则有u=1+10％=1.1，d =1-10％＝0.9。

显然前一情况客户会执行期权，后一情况会放弃期权期权价格在期满_T_时，期权价格为：

VT = max (ST- X ，0)

在股票价格为$46.2时，客户必定以敲定价格$40购进股票。这时期权的价格应为：

Vu = Su - X = 46.2-40 = 6.2(美元)

在股票价格为$37.8时，客户必定放弃这约定的股票购买权，这时期权的价格应为

Vd = 0(美元)

一、无套利定价模型

基本思路是套期保值，即交易者为减少风险而采取的投资组合(portfolio)的策略。假定现在套利者卖出一份股票期权，价格为V，再以价格_S_买进份这种股票，那么该组合的价格为:

_Π__=_αS-V

组合的目的是使之不具有风险，从而可获得无风险利率，那么在期权期满日，组合增值后的价值为:

其中r为无风险利率。

另一方面，如前面分析，这组合的在期权满日价格

二、风险中性定价法

在风险中性世界里：

（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；

（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。

股票价格的期望值：

假如投资者对有无风险无差异

Eg. 示例股票现价为42美元，下一期（6个月后）价格可能是46.2美元或者37.8美元，无风险利率为10%。假设投资者都是风险中性，问一份施权价为40美元的股票期权现在价值多少？

答案：投资者是风险中性意味着：

46.2 _p_+ 37.8(1-_p_)＝ 42 _e_0.1×0.5 _ p_＝0.7564 46.2 _p_+ 37.8(1-_p_)＝ 42 _e_0.1×0.5 _ p_＝0.7564 46.2 _p_+ 37.8(1-_p_)＝ 42 _e_0.1×0.5 _ p_＝0.7564

从而期权的即期价格为：

_V__＝E(VT)×e-rT_ _V_＝(0.7564 ×6.2＋0.2436×0)×_e_-0.1×0.5 _V__＝E(VT)×e-rT_ _V_＝(0.7564 ×6.2＋0.2436×0)×_e_-0.1×0.5 _V__＝E(VT)×e-rT_ _V_＝(0.7564 ×6.2＋0.2436×0)×_e_-0.1×0.5

＝4.46

三、多期二叉树模型

在简单分析中。有一个显然的问题，例子中到期满日股价只有两种可能以及涨跌幅10％的假定都是很粗略的

事实上股票时刻都有可能涨跌，因此我们将_T_分为很多小的时间间隔△t，而在每一个△t，股票价格变化由_S_到_Su_或Sd。若价格上扬的概率为p，那么下跌的概率为1-p。

四、Black-Scholes定价模型

1973年，美国芝加哥大学教授Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，RobertC. Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。

1.股票价格的对数服从普通布朗运动，股票价格和连续复利收益率服从对数正态分布。

期权定价, 交易策略, 期权

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